Estimativas de autovalores para o operador de Cheng-Yau deformado sobre domínios limitados em variedades Cartan-Hadamard pinçadas - Fonseca, Júlio Cézar Marinho da (Universidade Federal do Amazonas, 2022)
Nesta tese, mostramos como uma fórmula tipo Bochner pode ser usada para estabelecer desigualdades universais para os autovalores de um operador de Cheng-Yau deformado em um domínio limitado com a condição de fronteira de Dirichlet em uma variedade de Cartan-Hadamard pinçada. No primeiro teorema, o caso do espaço hiperbólico é tratado de forma independente. Para uma configuração mais geral, primeiro estabelecemos um teorema de comparação de Rauch para o operador de Cheng-Yau e duas estimativas associadas à fórmula tipo Bochner para esse operador. Em seguida, obtemos algumas estimativas integrais de interesse independente. Como aplicação, calculamos nossas desigualdades universais. Em particular, obtemos as desigualdades correspondentes tanto para o caso do operador de Cheng-Yau quanto para o caso do Laplaciano deformado, e recuperamos as desigualdades conhecidas para o Laplaciano. Também obtemos um resultado de rigidez para um operador de Cheng-Yau em uma classe de domínios anulares limitados de uma variedade de Cartan-Hadamard pinçada. Em particular, podemos usar, por exemplo, a função potencial do soliton Gaussiano shrinking para obter tal rigidez para o caso do espaço Euclidiano. Além disso, calculamos uma estimativa para o gap fundamental de uma classe de operadores diferenciais elípticos de segunda ordem definidos sobre uma família de domínios convexos no espaço Hiperbólico bidimensional.