Para explicar o forte magnetismo do ponto de vista microscópico, Heisenberg propôs que o alinhamento dos spins decorria de seus vizinhos mais próximos. Para uma rede cristalina de N spins localizados, o Hamiltoniano efetivo entre spin-spin predominante (exchange) é descrito por
onde temos que representa o somatório é feito sobre todos os pares de spins i e j com interação Jij de troca entre primeiro, segundo, etc ... vizinhos, Si = (Sxi, Syi, Szi ) indica o operador de spin no sítio i. A expressão matemática acima é conhecida na literatura como modelo de Dirac-Heisenberg, sendo que para Jij > 0 e Jij < 0 esse Hamiltoniano é denominado de Heisenberg ferromagnético e Heisenberg antiferromagnético, respectivamente [2].
A mecânica estatística é um ramo da física que por objetivo estudar a termodinâmica de um sistema físico, a partir do estudo dos estados microscópicos do sistema. Na mecânica estatística as propriedades físicas macroscópicas de um material, correspondem a médias dos estados microscópicos dos constituintes desse material. Um conjunto infinito de elementos idênticos que representa um sistema físico é denominado de ensemble , as médias num ensemble são calculadas a partir de um procedimento estatístico sendo que existe um conexão entre a estatística entre e a física, dependo do tipo de ensemble. Um dos ensemble mais utilizado no estudo de modelos, como o modelo de Heisenberg, é o ensemble canônico, que é caracterizado estatisticamente pela seguinte função de partição:
enquanto que média de uma grandeza é determinada por
O é o operador associado a grandeza da qual queremos determinar a média, β = 1/kBT (kB é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta) e Tr{· · · } é o funcional traço no espaço dos spins associado ao Hamiltoniano. A principal dificuldade em trabalhar com este tipo de ensemble é determinar o funcional exponencial do operador Hamiltoniano, haja visto que este operadores correspondem a matrizes que apresentam ordem dependendo do spin do sistema estudado, assim bem como da quantidade de sítios desses sistema. Normalmente, diagonalizamos a matriz operadora que representa o sistema e desta forma o traço da matriz diagonalizada corresponderá a soma das exponenciais dos autovalores dessa matriz. Porém, podemos também fazer um processo analítico da função exponencial dessa matriz [3], na forma de um expansão em potências da matriz que representa o sistema e desta forma calcular o traço dessa matriz.
Neste projeto o discente irá desenvolver programas computacionais com o objetivo de determinar as auto-energias de um sistema de spin 1/2 contendo N partículas. Para este tipo de sistema a matriz operadora que representa o Hamiltoniano do sistema apresenta ordem 2**N.
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