Este projeto de pesquisa é a continuação do projeto envolvendo grafos mágicos e jogos matemáticos, do Programa de Iniciação Científica Júnior da 2013/2014, do CNPq/UFAM (projeto PIBJR-E0001, sobre Grafos Mágicos) do qual a presente aluna é bolsista. No PIBIC Jr., os chamados grafos mágicos estão sendo investigados. Um grafo mágico é um grafo onde a soma dos rótulos das arestas que incidem em qualquer vértice é a mesma. A ênfase está no estudo do quadrado mágico, que consiste em um quadrado com dimensões nxn onde a soma dos elementos de cada linha, coluna e diagonal é a mesma. Agora, sendo um grafo mágico um caso particular de grafo rotulado, o objetivo deste projeto é o estudo dos outros casos de rotulação, como os grafos graciosos e problemas de colorações especiais, tópicos que serão os temas deste trabalho.
Um grafo é um par ordenado G=(V,E), onde V é um conjunto de n elementos denominados de vértices, e E é um conjunto de m pares não-ordenados de elementos de V, denominados de arestas. O problema clássico de coloração de vértices de um grafo, envolve a determinação de uma coloração própria dos vértices deste grafos, onde vértices adjacentes tenham cores distintas, usando o menor número de cores possíveis. Uma k-coloração é uma coloração de um grafo com k cores, e um grafo é k-colorível se tem uma k-coloração. O inteiro positivo mínimo k para o qual um grafo G é k-colorível é seu número cromático.
Dentre os problemas em teoria dos grafos com larga aplicação, destacam-se os problemas de coloração de grafos. Problemas tais como a coloração de mapas com um conjunto mínimo de cores, escalonamento de reuniões de comitês com membros dispersos entre vários comitês, programação de horários escolares [DIESTEL, 2000] e programação de períodos de exames em universidades [BONDY e MURTY, 2008], são exemplos de aplicações de coloração de grafos. Existem inúmeras variações do problema clássico de coloração de vértices em grafos, seja para coloração de arestas, vértices e arestas em conjunto, ou considerando restrições adicionais ao problema clássico.
Por outro lado, existem inúmeras classes de grafos e o estudo teórico de grafos, o que envolve entender, validar e desenvolver propriedades e algoritmos para a classe geral e sub-classes específicas de grafos. Dentre os casos mais peculiares de coloração, estão os grafos graciosos. Considerando um grafo com vértices e arestas rotulados com números naturais, de modo que os rótulos das arestas recebem a diferença dos rótulos dos vértices em que incidem. Quando as arestas rotuladas determinam uma sequência de 1 a n (onde n é o número de arestas), o grafo é denominado gracioso.
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