Nesta dissertação, estudamos a classificação completa das superfícies totalmente umbílicas imersas em variedades homogêneas tridimensionais, obtida no artigo intitulado "The classification of totally umbilical surfaces in homogeneous 3-manifolds" por Manzano e Souam [Math. Z. 279 (2015) 557-576]. Nos grupos de Lie unimodulares foi mostrado que, exceto para o espaço Euclidiano R3, a esfera unitária S3, o grupo solúvel Sol3 e os exemplos totalmente geodésicos que aparecem em alguns casos especiais dados por Tsukada [Kodai Math. J. 19 (3) (1996) 395-437], não existem superfícies totalmente umbílicas. Além disso, foi obtido extensões de alguns resultados de Inoguchi e Van der Veken [Geom. Dedicata. 131 (2008) 159-172], Souam e Toubiana [Math. Helv. 84 (3) (2009) 673-704] e Tsukada [Kodai Math. J. 19 (3) (1996) 395-437], dando provas alternativas para cada caso. Nos grupos de Lie não-unimodulares, as superfícies totalmente umbílicas existem nos casos em que o grupo de Lie é isométrico ao espaço hiperbólico H3 e ao espaço produto H2(k)xR. Além disso, em alguns casos especiais de grupos de Lie não-unimodulares foi mostrado, a menos de uma isometria do espaço ambiente, a existência de superfícies completas totalmente geodésicas e superfícies completas totalmente umbílicas que não são totalmente geodésicas.
|
