Nesta tese, mostramos como uma fórmula tipo Bochner pode ser usada para estabelecer desigualdades universais para os autovalores de um operador de Cheng-Yau deformado em um domínio limitado com a condição de fronteira de Dirichlet em uma variedade de Cartan-Hadamard pinçada. No primeiro teorema, o caso do espaço hiperbólico é tratado de forma independente. Para uma configuração mais geral, primeiro estabelecemos um teorema de comparação de Rauch para o operador de Cheng-Yau e duas estimativas associadas à fórmula tipo Bochner para esse operador. Em seguida, obtemos algumas estimativas integrais de interesse independente. Como aplicação, calculamos nossas desigualdades universais. Em particular, obtemos as desigualdades correspondentes tanto para o caso do operador de Cheng-Yau quanto para o caso do Laplaciano deformado, e recuperamos as desigualdades conhecidas para o Laplaciano. Também obtemos um resultado de rigidez para um operador de Cheng-Yau em uma classe de domínios anulares limitados de uma variedade de Cartan-Hadamard pinçada. Em particular, podemos usar, por exemplo, a função potencial do soliton Gaussiano shrinking para obter tal rigidez para o caso do espaço Euclidiano. Além disso, calculamos uma estimativa para o gap fundamental de uma classe de operadores diferenciais elípticos de segunda ordem definidos sobre uma família de domínios convexos no espaço Hiperbólico bidimensional.
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